486 Вычислить: 1) sin (α + π/6), если cos α = -3/5 и π < α < 3π/2. 2) sin (π/4 − α), если sin α = √2/3 и π/2 < α < π.

1) sin (α + π/6), если cos α = -3/5 и π < α < 3π/2.

Так как π < α < 3π/2, то α находится в третьей четверти, где sin α < 0.

Найдем sin α:

$$sin^2 α + cos^2 α = 1$$

$$sin^2 α = 1 - cos^2 α = 1 - (\frac{-3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

$$sin α = ±\frac{4}{5}$$

Так как sin α < 0, то sin α = -4/5.

Теперь найдем sin (α + π/6):

$$sin(α + \frac{\pi}{6}) = sin α cos \frac{\pi}{6} + cos α sin \frac{\pi}{6} = (\frac{-4}{5}) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{-3}{5}) \cdot (\frac{1}{2}) = \frac{-4\sqrt{3} - 3}{10}$$

Ответ: $$\frac{-4\sqrt{3} - 3}{10}$$

2) sin (π/4 − α), если sin α = √2/3 и π/2 < α < π.

Так как π/2 < α < π, то α находится во второй четверти, где cos α < 0.

Найдем cos α:

$$sin^2 α + cos^2 α = 1$$

$$cos^2 α = 1 - sin^2 α = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$$

$$cos α = ±\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Так как cos α < 0, то cos α = -√7/3.

Теперь найдем sin (π/4 − α):

$$sin(\frac{\pi}{4} - α) = sin \frac{\pi}{4} cos α - cos \frac{\pi}{4} sin α = (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (\frac{-\sqrt{7}}{3}) - (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{-\sqrt{14} - 2}{6}$$

Ответ: $$\frac{-\sqrt{14} - 2}{6}$$