488 Вычислить cos (α + β) и cos (α – β), если sin α = -3/5, 3/2 π < α < 2π, и sin β = 8/17, 0 < β < π/2.

Дано: sin α = -3/5, 3π/2 < α < 2π, sin β = 8/17, 0 < β < π/2.

Найти: cos (α + β) и cos (α – β)

Так как 3π/2 < α < 2π, α находится в четвертой четверти, где cos α > 0.

Так как 0 < β < π/2, β находится в первой четверти, где cos β > 0.

Найдем cos α:

$$sin^2 α + cos^2 α = 1$$

$$cos^2 α = 1 - sin^2 α = 1 - (\frac{-3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

$$cos α = ±\frac{4}{5}$$

Так как cos α > 0, то cos α = 4/5.

Найдем cos β:

$$sin^2 β + cos^2 β = 1$$

$$cos^2 β = 1 - sin^2 β = 1 - (\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}$$

$$cos β = ±\frac{15}{17}$$

Так как cos β > 0, то cos β = 15/17.

Теперь найдем cos (α + β) и cos (α – β):

$$cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β = (\frac{4}{5}) \cdot (\frac{15}{17}) - (\frac{-3}{5}) \cdot (\frac{8}{17}) = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{84}{85}$$

$$cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β = (\frac{4}{5}) \cdot (\frac{15}{17}) + (\frac{-3}{5}) \cdot (\frac{8}{17}) = \frac{60}{85} - \frac{24}{85} = \frac{36}{85}$$

Ответ: cos (α + β) = $$\frac{84}{85}$$, cos (α – β) = $$\frac{36}{85}$$