Упростить выражение: \(\frac{2^{-7} \cdot 4^{-4}}{8^{-8}} \)

Решение:

1. Представим все основания степени в виде степени числа 2: \( 4 = 2^2 \) и \( 8 = 2^3 \).
2. Подставим это в выражение: \[ \frac{2^{-7} \cdot (2^2)^{-4}}{(2^3)^{-8}} \]
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \[ \frac{2^{-7} \cdot 2^{2 \cdot (-4)}}{2^{3 \cdot (-8)}} = \frac{2^{-7} \cdot 2^{-8}}{2^{-24}} \]
4. Используем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе: \[ \frac{2^{-7 + (-8)}}{2^{-24}} = \frac{2^{-15}}{2^{-24}} \]
5. Используем свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 2^{-15 - (-24)} = 2^{-15 + 24} = 2^9 \]
6. Вычислим значение: \( 2^9 = 512 \).

Ответ: 512.