Упростить выражение: \(\frac{3^{-9} \cdot 9^{-4}}{27^{-7}} \)

Решение:

1. Представим все основания степени в виде степени числа 3: \( 9 = 3^2 \) и \( 27 = 3^3 \).
2. Подставим это в выражение: \[ \frac{3^{-9} \cdot (3^2)^{-4}}{(3^3)^{-7}} \]
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \[ \frac{3^{-9} \cdot 3^{2 \cdot (-4)}}{3^{3 \cdot (-7)}} = \frac{3^{-9} \cdot 3^{-8}}{3^{-21}} \]
4. Используем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе: \[ \frac{3^{-9 + (-8)}}{3^{-21}} = \frac{3^{-17}}{3^{-21}} \]
5. Используем свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 3^{-17 - (-21)} = 3^{-17 + 21} = 3^4 \]
6. Вычислим значение: \( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \).

Ответ: 81.