8. Упростите выражение (7ab)/(a+7b)−(7b)/(a) и найдите его значение при a = 7√2+7, b=√2-9

Упростим выражение $$\frac{7ab}{a+7b} - \frac{7b}{a}$$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{7ab}{a+7b} - \frac{7b}{a} = \frac{7a^{2}b - 7ab(a+7b)}{a(a+7b)} = \frac{7a^{2}b - 7a^{2}b - 49ab^{2}}{a(a+7b)} = \frac{-49ab^{2}}{a(a+7b)} = \frac{-49b^{2}}{a+7b}$$.

Найдем значение выражения при $$a = 7\sqrt{2}+7$$, $$b = \sqrt{2}-9$$:

$$\frac{-49b^{2}}{a+7b} = \frac{-49(\sqrt{2}-9)^{2}}{7\sqrt{2}+7+7(\sqrt{2}-9)} = \frac{-49(2-18\sqrt{2}+81)}{7\sqrt{2}+7+7\sqrt{2}-63} = \frac{-49(83-18\sqrt{2})}{14\sqrt{2}-56} = \frac{-49(83-18\sqrt{2})}{14(\sqrt{2}-4)} = \frac{-7(83-18\sqrt{2})}{2(\sqrt{2}-4)} = \frac{-7(83-18\sqrt{2})(\sqrt{2}+4)}{2(\sqrt{2}-4)(\sqrt{2}+4)} = \frac{-7(83\sqrt{2}+332-36-18\cdot 2)}{2(2-16)} = \frac{-7(83\sqrt{2}+332-36-36)}{2(-14)} = \frac{-7(83\sqrt{2}+260)}{-28} = \frac{(83\sqrt{2}+260)}{4}$$.

Ответ: $$\frac{(83\sqrt{2}+260)}{4}$$