30. В правильной четырёхугольной призме ABCDA,B,C,D₁ известно, что BD1=2AD. Найдите угол между диагоналями DB1 и СА1. Ответ дайте в градусах.

Пусть сторона основания равна a. Тогда диагональ основания BD = a\(\sqrt{2}\). По условию BD₁ = 2a. Рассмотрим треугольник BDD₁ - прямоугольный, так как призма прямая.

Тогда по теореме Пифагора DD₁ = \(\sqrt{BD_1^2 - BD^2} = \sqrt{(2a)^2 - (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{4a^2 - 2a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\)

Получается, что DD₁ = BD = a\(\sqrt{2}\). Следовательно, треугольник BDD₁ - равнобедренный прямоугольный. Значит угол DB₁D = 45°.

Рассмотрим проекцию CA₁ на плоскость основания - это диагональ CA. Угол между диагоналями DB₁ и CA₁ - это угол между DB₁ и CA.

Поскольку DB₁ и CA₁ - диагонали квадрата, то угол между ними 45°.