9. В равнобедренной трапеции ABCD (AD и ВС - основа-ния) диагонали взаимно перпендикулярны. ВЕ ⊥ AD; ED = 4 см. Чему равна высота трапеции?

Т.к. диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то высота трапеции равна полусумме оснований. Пусть высота трапеции равна h, тогда $$h = \frac{BC+AD}{2}$$.

В равнобедренной трапеции высоты, проведенные из вершин меньшего основания, отсекают от большего основания равные отрезки. Значит, $$AE = \frac{AD-BC}{2}$$.

Тогда $$AD = AE + ED = AE + 4$$.

Подставим в формулу для высоты: $$h = \frac{BC + AE + 4}{2}$$.

$$AE = \frac{AD-BC}{2} => 2AE = AD - BC => BC = AD - 2AE$$.

$$h = \frac{AD - 2AE + AE + 4}{2} = \frac{AD - AE + 4}{2}$$.

$$AD = AE + 4$$, тогда $$AE = AD - 4$$.

$$h = \frac{AD - (AD - 4) + 4}{2} = \frac{AD - AD + 4 + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$$.

Ответ: 4 см