5. В равнобедренной трапеции, угол при основании равен 45°, а основания равны 2см и 6 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, основания которой BC = 2 см, AD = 6 см, угол BAD = углу CDA = 45°.

Проведем высоты BH и CF к основанию AD.

$$AH = FD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2 \text{ см}$$

В прямоугольном треугольнике ABH: угол BAH = 45°, угол ABH = 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник ABH - равнобедренный, значит AH = BH = 2 см.

Высота трапеции равна 2 см.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$, где $$a, b$$ - основания трапеции, $$h$$ - высота.

$$S = \frac{2+6}{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}^2$$

Ответ: 8 см²