В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажи, что AP/PC = DP/PB.

Решение:

У нас есть трапеция ABCD, где AD || BC. Диагонали AC и BD пересекаются в точке P.

Рассмотрим треугольники $$\triangle APD$$ и $$\triangle CPB$$.

1. Углы APD и CPB равны как вертикальные углы.
2. Угол PAD равен углу PCB. Это накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC.
3. Угол PDA равен углу PBC. Это накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BD.

Поскольку все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то треугольники $$\triangle APD$$ и $$\triangle CPB$$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$$\frac{AP}{CP} = \frac{DP}{BP} = \frac{AD}{CB}$$

Следовательно, мы доказали, что:

$$\frac{AP}{CP} = \frac{DP}{BP}$$

Доказано.