В трапеции ABCD точки M и N — середины AB и CD; MN = 18, ∠B = 90°, ∠C = 135°, BC : AD = 1 : 8. Найти AB.

Угол C равен 135°, поэтому острый угол между боковой стороной CD и основаниями равен 45°. При перпендикулярных основаниям у вершины B высота трапеции равна AB. Горизонтальный сдвиг от C до D также равен AB, так как образуется прямоугольный равнобедренный треугольник.

Пусть BC = x. Тогда AD = 8x, а разность оснований AD − BC = 7x. Эта разность равна горизонтальному сдвигу, то есть AB. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \(18=(x+8x)/2\), откуда \(9x=36\) и \(x=4\).

Следовательно, \(AB=7x=28\).

Ответ: AB = 28.