В трапеции MNPK основания MN и PK параллельны. Дано ∠M = 40°, ∠N = 75°, NF ⟂ MK. Найти ∠N, ∠P, ∠K.

На рисунке угол 75° отмечен между MN и NF, то есть это ∠MNF, а не внутренний угол при N. Следовательно, формулировка «∠N = 75°» не совпадает с обозначением на рисунке; используем именно показанный угол.

В прямоугольном треугольнике MNF: \(\angle NMF=40°\), \(\angle MFN=90°\), поэтому \(\angle MNF=50°\). Это противоречит подписи 75°. Значит, данные рисунка одновременно несовместимы: при указанных NF ⟂ MK и ∠M = 40° угол между MN и NF обязан быть 50°, а не 75°.

Если 75° — внутренний угол трапеции при N, то из параллельности оснований смежные углы на боковых сторонах дополняют друг друга до 180°: \(\angle K=180°-40°=140°\), \(\angle P=180°-75°=105°\). Однако это прочтение не согласуется с расположением отметки на рисунке.

Ответ: данные противоречивы. При трактовке ∠N = 75° как внутреннего угла получаем ∠P = 105°, ∠K = 140°; угол на рисунке между MN и NF при прочих обозначениях должен быть 50°, а не 75°.