В трапеции АВСD известно, что AB = CD, AC = AD и /ABC = 113°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Смотри, тут всё просто: Нужно найти угол CAD в трапеции ABCD, зная, что AB = CD, AC = AD и угол ABC = 113°.

Решение:

Трапеция ABCD, где AB = CD, является равнобедренной. Значит, углы при основании AD равны. Угол ABC равен 113°, следовательно, угол BAD также равен 113° (\( \angle BAD = \angle ABC = 113^\circ \)).

Рассмотрим треугольник ACD, в котором AC = AD. Значит, треугольник ACD равнобедренный, и углы при основании CD равны. Пусть \( \angle ACD = \angle ADC = x \).

Сумма углов в треугольнике ACD равна 180°:

\[ \angle ACD + \angle ADC + \angle CAD = 180^\circ \] \[ x + x + \angle CAD = 180^\circ \] \[ 2x + \angle CAD = 180^\circ \]

Угол ADC является частью угла ADB. Угол ADB равен углу ABC как углы при основании равнобедренной трапеции (\( \angle ADB = \angle ABC = 113^\circ \)).

Угол ADC равен углу ADB:

\[ \angle ADC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 113^\circ = 67^\circ \]

Теперь мы знаем, что \( x = 67^\circ \). Подставим это значение в уравнение для треугольника ACD:

\[ 2 \cdot 67^\circ + \angle CAD = 180^\circ \] \[ 134^\circ + \angle CAD = 180^\circ \] \[ \angle CAD = 180^\circ - 134^\circ \] \[ \angle CAD = 46^\circ \]

Ответ:

Угол CAD равен 46°.

Проверка за 10 секунд: Углы ADC и DAB в сумме дают 180. ADC = 180 - 113 = 67. Углы CAD и ACD равны, и CAD = (180 - 2*67) / 2 = 46.

Доп. профит: Уровень Эксперт. В задачах с трапециями часто полезно рассмотреть углы, образующиеся при пересечении диагоналей и сторон. Использование свойств равнобедренных треугольников помогает находить неизвестные углы.