262 В треугольниках АВС и А1В1С₁ углы А и А1 — прямые, BD и В1D1 — биссектрисы. Докажите, что ДАВС = А1В1С1, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D1.

Ответ: Доказательство в решении.

1. Дано: треугольники ABC и A₁B₁C₁, где ∠A = ∠A₁ = 90°, BD и B₁D₁ — биссектрисы, ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.
2. Т.к. BD и B₁D₁ — биссектрисы, то ∠ABD = \(\frac{1}{2}\)∠B и ∠A₁B₁D₁ = \(\frac{1}{2}\)∠B₁.
3. Т.к. ∠B = ∠B₁, то ∠ABD = ∠A₁B₁D₁.
4. Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁:
   • BD = B₁D₁ (по условию).
   • ∠A = ∠A₁ = 90° (по условию).
   • ∠ABD = ∠A₁B₁D₁ (доказано выше).
5. Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по углу и стороне.
6. Из равенства треугольников следует, что AB = A₁B₁.
7. Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁:
   • AB = A₁B₁ (доказано выше).
   • ∠A = ∠A₁ = 90° (по условию).
   • ∠B = ∠B₁ (по условию).
8. Значит, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по углу и стороне. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство в решении.