267 В треугольниках АВС и А1В1С1 углы А и А₁ — прямые, BD и B₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что ΔАВС = ∆ А1В1С1, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Дано:

• Треугольники ABC и A1B1C1
• Углы A и A1 - прямые (90°)
• BD и B1D1 - биссектрисы
• ∠B = ∠B1
• BD = B1D1

Доказать: ΔABC = ΔA1B1C1

Доказательство:

• Так как BD и B1D1 - биссектрисы, то ∠ABD = ∠CBD = ∠B / 2 и ∠A1B1D1 = ∠C1B1D1 = ∠B1 / 2.
• По условию ∠B = ∠B1, значит, ∠ABD = ∠A1B1D1.
• Рассмотрим треугольники ABD и A1B1D1:
  • ∠A = ∠A1 = 90°
  • ∠ABD = ∠A1B1D1
  • BD = B1D1 (по условию)
• Следовательно, треугольники ABD и A1B1D1 равны по стороне и двум прилежащим углам.
• Из равенства треугольников ABD и A1B1D1 следует, что AB = A1B1.
• Теперь рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1:
  • ∠A = ∠A1 = 90°
  • AB = A1B1 (доказано выше)
  • ∠B = ∠B1 (по условию)
• Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по стороне и двум прилежащим углам.

Доказано.