В треугольниках АВС и А,В,С, углы А и А₁ — прямые, BD и В.Д, - биссектрисы. Докажите, что ДАВС = ДА,В,С1, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Ответ: Доказано.

• Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁, в которых углы A и A₁ прямые, BD и B₁D₁ — биссектрисы, ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.
• Так как BD и B₁D₁ — биссектрисы, то ∠ABD = ∠CBD = ∠A₁B₁D₁ = ∠C₁B₁D₁ = ∠B / 2 = ∠B₁ / 2.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°. В треугольнике ABC: ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 90° - ∠B = 90° - ∠B.
• Аналогично, в треугольнике A₁B₁C₁: ∠C₁ = 180° - ∠A₁ - ∠B₁ = 180° - 90° - ∠B₁ = 90° - ∠B₁.
• Так как ∠B = ∠B₁, то ∠C = ∠C₁.
• Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁. У них ∠A = ∠A₁ = 90°, ∠ABD = ∠A₁B₁D₁ и BD = B₁D₁. Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по углу и прилежащей стороне.
• Из равенства треугольников ABD и A₁B₁D₁ следует, что AB = A₁B₁.
• Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. У них ∠A = ∠A₁ = 90°, ∠C = ∠C₁ и AB = A₁B₁. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по углу и прилежащей стороне.

Ответ: Доказано.