50.8*. В треугольнике ABC, ∠C=90°, CD – высота, CE – биссектриса, а AE : EB = 2:3. Найдите отношения a) AC : BC; б) SACE : SBCE; в) AD:BD.

Пошаговое решение:

• а) AC : BC:
• По свойству биссектрисы, \( \frac{AC}{BC} = \frac{AE}{EB} = \frac{2}{3} \).
• б) S_ACE : S_BCE:
• Так как CE – биссектриса, то площади треугольников ACE и BCE относятся как длины отрезков AE и EB: \( \frac{S_{ACE}}{S_{BCE}} = \frac{AE}{EB} = \frac{2}{3} \).
• в) AD : BD:
• Пусть AC = 2x и BC = 3x. Тогда \( AB = \sqrt{(2x)^2 + (3x)^2} = \sqrt{4x^2 + 9x^2} = \sqrt{13x^2} = x\sqrt{13} \).
• По свойству высоты CD, \( AC^2 = AD \cdot AB \), следовательно, \( AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{(2x)^2}{x\sqrt{13}} = \frac{4x^2}{x\sqrt{13}} = \frac{4x}{\sqrt{13}} \).
• Также \( BC^2 = BD \cdot AB \), следовательно, \( BD = \frac{BC^2}{AB} = \frac{(3x)^2}{x\sqrt{13}} = \frac{9x^2}{x\sqrt{13}} = \frac{9x}{\sqrt{13}} \).
• Тогда \( \frac{AD}{BD} = \frac{\frac{4x}{\sqrt{13}}}{\frac{9x}{\sqrt{13}}} = \frac{4}{9} \).

Ответ: a) 2:3; б) 2:3; в) 4:9.