В треугольнике ABC AB = 5, BC = 12. На стороне BC выбрана точка M так, что BM : MC = 1 : 2. Найдите AC, если AM = 5√2.

Так как \(BC=12\) и \(BM:MC=1:2\), получаем \(BM=4\), \(MC=8\).

По теореме Стюарта:

\(AB^2\cdot MC+AC^2\cdot BM=BC(AM^2+BM\cdot MC)\).

\(25\cdot8+AC^2\cdot4=12(50+4\cdot8)=984\).

\(200+4AC^2=984\), откуда \(AC^2=196\).

Следовательно, \(AC=14\).

Ответ: 14.