В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK=1/6 AB. Площадь треугольника AMK равна 3. Найдите площадь треугольника ABC.

Краткая запись:

• Треугольник ABC
• BM - медиана
• K на AB, AK = 1/6 AB
• S(AMK) = 3
• Найти: S(ABC) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Так как BM - медиана, то она делит сторону AC пополам, и площадь треугольника ABM равна площади треугольника CBM. S(ABM) = S(CBM) = S(ABC)/2.
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольник ABM. Точка K лежит на стороне AB. Треугольники AMK и ABM имеют общую высоту, опущенную из вершины M.
3. Шаг 3: Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению их оснований. S(AMK) / S(ABM) = AK / AB.
4. Шаг 4: По условию AK = 1/6 AB. Следовательно, AK / AB = 1/6.
5. Шаг 5: S(AMK) / S(ABM) = 1/6.
6. Шаг 6: Нам известно, что S(AMK) = 3. Подставим это значение: 3 / S(ABM) = 1/6.
7. Шаг 7: Найдем площадь треугольника ABM: S(ABM) = 3 * 6 = 18.
8. Шаг 8: Так как S(ABM) = S(ABC)/2, то S(ABC) = 2 * S(ABM).
9. Шаг 9: S(ABC) = 2 * 18 = 36.

Ответ: 36