2241. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A = 5/√89. Найдите tg A.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C = 90°, известен косинус угла A: $$\cos A = \frac{5}{\sqrt{89}}$$. Нужно найти тангенс угла A.

Тангенс угла A определяется как отношение синуса угла A к косинусу угла A:

$$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$

Чтобы найти синус угла A, используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$

Выразим $$\sin^2 A$$:

$$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$$

Подставим значение $$\cos A$$:

$$\sin^2 A = 1 - (\frac{5}{\sqrt{89}})^2 = 1 - \frac{25}{89} = \frac{89}{89} - \frac{25}{89} = \frac{64}{89}$$

Извлечем квадратный корень, учитывая, что синус угла в треугольнике всегда положительный:

$$\sin A = \sqrt{\frac{64}{89}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{89}} = \frac{8}{\sqrt{89}}$$

Теперь найдем тангенс угла A:

$$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{8}{\sqrt{89}}}{\frac{5}{\sqrt{89}}} = \frac{8}{\sqrt{89}} \cdot \frac{\sqrt{89}}{5} = \frac{8}{5}$$

Ответ: 8/5