6. В треугольнике АВС АВ = ВС = 24 внешний угол при вершине С равен 150 градусов. Найдите длину медианы

Так как в треугольнике ABC $$AB = BC$$, то он является равнобедренным с основанием AC. Внешний угол при вершине C равен 150 градусов, следовательно, внутренний угол при вершине C равен:

$$180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$$.

Углы при основании AC в равнобедренном треугольнике равны:

$$\frac{180^{\circ} - 30^{\circ}}{2} = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$$.

Так как медиана, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, не обладает особыми свойствами, необходимо найти длину стороны AC, а затем воспользоваться формулой для вычисления медианы.

По теореме косинусов найдем сторону AC:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos B$$.

$$AC^2 = 24^2 + 24^2 - 2 \cdot 24 \cdot 24 \cdot cos 150^{\circ}$$.

$$AC^2 = 576 + 576 - 1152 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$$.

$$AC^2 = 1152 + 576\sqrt{3}$$.

$$AC = \sqrt{1152 + 576\sqrt{3}} \approx 45,5$$.

Длина медианы $$m_b$$, проведенной к стороне BC, вычисляется по формуле:

$$m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2(a^2 + c^2) - b^2}$$.

В нашем случае: $$a = BC = 24$$, $$b = AC \approx 45,5$$, $$c = AB = 24$$.

$$m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2(24^2 + 24^2) - 45,5^2}$$.

$$m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2(576 + 576) - 2070,25}$$.

$$m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2304 - 2070,25}$$.

$$m_b = \frac{1}{2} \sqrt{233,75} \approx \frac{1}{2} \cdot 15,29 \approx 7,65$$.

Однако, более простым способом является применение теоремы о том, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Но здесь медиана проведена не к основанию.

Применим теорему косинусов к треугольнику, образованному медианой:

Медиана делит сторону BC пополам, поэтому $$BM = MC = 12$$.

Пусть AM - медиана. Тогда $$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot cos B$$

$$AM^2 = 24^2 + 12^2 - 2 \cdot 24 \cdot 12 \cdot cos 75$$

$$AM^2 = 576 + 144 - 576 \cdot cos 75$$

$$AM^2 = 720 - 576 \cdot cos 75 \approx 720 - 576 \cdot 0.2588 \approx 720 - 148.98 \approx 571.02$$

$$AM = \sqrt{571.02} \approx 23.9$$.

Ответ: 23.9