1736. В треугольнике АВС угол C равен 90°, угол А равен 30°, АВ = 36√3. Найдите высоту CH.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 30°, следовательно, угол B равен 60° (так как сумма углов треугольника равна 180°).

Высота CH, проведенная из прямого угла C к гипотенузе AB, делит прямоугольный треугольник ABC на два прямоугольных треугольника: ACH и BCH.

В треугольнике ACH: угол A = 30°, угол AHC = 90°. Следовательно, $$AC = AB \cdot cos(30°) = 36\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36 \cdot \frac{3}{2} = 54$$.

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$$

Найдем BC: $$BC = AB \cdot sin(30°) = 36\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 18\sqrt{3}$$.

Тогда $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot 18\sqrt{3} = 486\sqrt{3}$$.

Высота CH находится из формулы $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$$.

$$CH = \frac{2S_{ABC}}{AB} = \frac{2 \cdot 486\sqrt{3}}{36\sqrt{3}} = \frac{486}{18} = 27$$.

Ответ: 27