В треугольнике SNP известно, что SP = NP, SN=21, tg S = \frac{\sqrt{7}}{3}. Найдите длину стороны SP.

1. Найдем cos S:
   Известно, что \(\tg S = \frac{\sqrt{7}}{3}\). Так как \(\tg S = \frac{\sin S}{\cos S}\), и \(\sin^2 S + \cos^2 S = 1\), то можем найти \(\cos S\).
   Пусть \(\sin S = \sqrt{7}x\) и \(\cos S = 3x\). Тогда:
   \[(\sqrt{7}x)^2 + (3x)^2 = 1\] \[7x^2 + 9x^2 = 1\] \[16x^2 = 1\] \[x^2 = \frac{1}{16}\] \[x = \frac{1}{4}\]
   Следовательно, \(\cos S = 3x = \frac{3}{4}\).
2. Применим теорему косинусов для треугольника SNP:
   Пусть \(SP = NP = a\). Тогда по теореме косинусов:
   \[SN^2 = SP^2 + NP^2 - 2 \cdot SP \cdot NP \cdot \cos S\] \[21^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \frac{3}{4}\] \[441 = 2a^2 - \frac{3}{2}a^2\] \[441 = \frac{1}{2}a^2\] \[a^2 = 882\] \[a = \sqrt{882} = \sqrt{441 \cdot 2} = 21\sqrt{2}\]

Ответ: SP = 21\(\sqrt{2}\)