576 В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.

Пусть ABCD - выпуклый четырехугольник, диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников ABC и ADC.

Площадь треугольника ABC: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BO$$.

Площадь треугольника ADC: $$S_{ADC} = \frac{1}{2} AC \cdot DO$$.

Площадь четырехугольника ABCD: $$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{1}{2} AC \cdot BO + \frac{1}{2} AC \cdot DO = \frac{1}{2} AC (BO + DO) = \frac{1}{2} AC \cdot BD$$.

Следовательно, площадь выпуклого четырёхугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями равна половине произведения его диагоналей.

Ответ: Доказано