В2 Лодка прошла по течению реки 10 км, а затем 2 км против течения, затратив на весь путь 1,5 часа. Найдите собственную скорость лодки (в км/ч), если скорость течения 3 км/ч.

Решение:

• Пусть собственная скорость лодки равна v (км/ч).
• Скорость лодки по течению: v + 3 (км/ч).
• Скорость лодки против течения: v - 3 (км/ч).
• Время в пути по течению: t₁ = расстояние / скорость = 10 / (v + 3) часа.
• Время в пути против течения: t₂ = расстояние / скорость = 2 / (v - 3) часа.
• Общее время в пути: t₁ + t₂ = 1,5 часа.
• Составим уравнение:
• \[ \frac{10}{v+3} + \frac{2}{v-3} = 1,5 \]
• Приведем дроби к общему знаменателю (v+3)(v-3) = v² - 9:
• \[ \frac{10(v-3)}{(v+3)(v-3)} + \frac{2(v+3)}{(v+3)(v-3)} = 1,5 \]
• \[ \frac{10v - 30 + 2v + 6}{v^2 - 9} = 1,5 \]
• \[ \frac{12v - 24}{v^2 - 9} = 1,5 \]
• Умножим обе части на (v² - 9):
• \[ 12v - 24 = 1,5(v^2 - 9) \]
• \[ 12v - 24 = 1,5v^2 - 13,5 \]
• Перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
• \[ 1,5v^2 - 12v - 13,5 + 24 = 0 \]
• \[ 1,5v^2 - 12v + 10,5 = 0 \]
• Умножим все на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:
• \[ 3v^2 - 24v + 21 = 0 \]
• Разделим все на 3:
• \[ v^2 - 8v + 7 = 0 \]
• Решим квадратное уравнение через дискриминант:
• D = b² - 4ac = (-8)² - 4 * 1 * 7 = 64 - 28 = 36
• √D = 6
• v₁ = (-b + √D) / 2a = (8 + 6) / 2 = 14 / 2 = 7
• v₂ = (-b - √D) / 2a = (8 - 6) / 2 = 2 / 2 = 1
• Проверим корни:
• Если v = 7 км/ч:
• По течению: 10 / (7+3) = 10/10 = 1 час.
• Против течения: 2 / (7-3) = 2/4 = 0,5 часа.
• Общее время: 1 + 0,5 = 1,5 часа. Подходит.
• Если v = 1 км/ч:
• Скорость против течения v - 3 = 1 - 3 = -2 км/ч. Скорость не может быть отрицательной. Этот корень не подходит.

Ответ: 7 км/ч