В2. Вольтметр с пределом измерения напряжения U = 20 В имеет некоторое внутреннее сопротивление r. При подключении последовательно с вольтметром резистора с сопротивлением R = 237 МОм предел измерения этим вольтметром увеличивается в 80 раз. Чему равно внутреннее сопротивление вольтметра?

Решение:

Обозначим внутреннее сопротивление вольтметра как \( r_{voltmeter} \).

Первоначальный предел измерения вольтметра: \( U_{max1} = 20 \text{ В} \).

Когда вольтметр используется отдельно, максимальный ток, который он может измерить, равен:

\( I_{max} = \frac{U_{max1}}{r_{voltmeter}} = \frac{20 \text{ В}}{r_{voltmeter}} \)

После подключения последовательно резистора \( R = 237 \text{ МОм} \) (то есть \( 237 \cdot 10^6 \text{ Ом} \)), предел измерения увеличился в 80 раз. Новый предел измерения:

\( U_{max2} = 80 \cdot U_{max1} = 80 \cdot 20 \text{ В} = 1600 \text{ В} \)

Общее сопротивление цепи в этом случае равно \( R_{total} = R + r_{voltmeter} \).

Максимальный ток через цепь остаётся тем же, так как вольтметр рассчитан на его измерение:

\( I_{max} = \frac{U_{max2}}{R + r_{voltmeter}} = \frac{1600 \text{ В}}{237 \cdot 10^6 \text{ Ом} + r_{voltmeter}} \)

Приравниваем выражения для \( I_{max} \):

\( \frac{20 \text{ В}}{r_{voltmeter}} = \frac{1600 \text{ В}}{237 \cdot 10^6 \text{ Ом} + r_{voltmeter}} \)

\( 20 (237 \cdot 10^6 + r_{voltmeter}) = 1600 r_{voltmeter} \)

\( 20 \cdot 237 \cdot 10^6 + 20 r_{voltmeter} = 1600 r_{voltmeter} \)

\( 4740 \cdot 10^6 = 1600 r_{voltmeter} - 20 r_{voltmeter} \)

\( 4740 \cdot 10^6 = 1580 r_{voltmeter} \)

\( r_{voltmeter} = \frac{4740 \cdot 10^6}{1580} = 3 \cdot 10^6 \text{ Ом} = 3 \text{ МОм} \)

Ответ: 3 МОм