В8. Найдите наибольшее значение функции у= -x³-3x²+24х-4 на отрезке [-5;1].

Решение:

1. Найдем производную функции \( y = -x^3 - 3x^2 + 24x - 4 \):

\( y' = -3x^2 - 6x + 24 \)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( -3x^2 - 6x + 24 = 0 \)

Разделим на -3:

\( x^2 + 2x - 8 = 0 \)

3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \).

\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

4. Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -4 \). Нас интересует отрезок \( [-5; 1] \). Из критических точек на этом отрезке только \( x = -4 \).

5. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, попадающей на отрезок:

а) При \( x = -5 \):

\( y(-5) = -(-5)^3 - 3(-5)^2 + 24(-5) - 4 = -(-125) - 3(25) - 120 - 4 = 125 - 75 - 120 - 4 = 50 - 120 - 4 = -70 - 4 = -74 \).

б) При \( x = -4 \):

\( y(-4) = -(-4)^3 - 3(-4)^2 + 24(-4) - 4 = -(-64) - 3(16) - 96 - 4 = 64 - 48 - 96 - 4 = 16 - 96 - 4 = -80 - 4 = -84 \).

в) При \( x = 1 \):

\( y(1) = -(1)^3 - 3(1)^2 + 24(1) - 4 = -1 - 3 + 24 - 4 = -4 + 24 - 4 = 20 - 4 = 16 \).

6. Сравним полученные значения: \( -74, -84, 16 \).

Наибольшее значение функции на отрезке \( [-5; 1] \) равно \( 16 \).

Ответ: 16.