Вариант 1. 1. Дан равнобедренный треугольник. Найдите отношение радиусов вписанной и описанной окружностей, если угол при вершине равен α.

Для любого треугольника с углами A, B, C выполняется формула \(\frac rR=4\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2\).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны \(\frac{\pi-\alpha}{2}\). Поэтому

\[\frac rR=4\sin\frac\alpha2\sin^2\left(\frac{\pi-\alpha}{4}\right).\]

Эквивалентная форма получается из того, что половина угла при основании равна \(\frac\pi4-\frac\alpha4\).

Ответ: \(\displaystyle \frac rR=4\sin\frac\alpha2\sin^2\left(\frac\pi4-\frac\alpha4\right)\).