Вариант 2. 4. Дан прямоугольник ABCD. Докажите, что для любой точки O выполняется равенство \(OA^2+OC^2=OB^2+OD^2\).

Пусть M — центр прямоугольника, \(\mathbf x=\overrightarrow{OM}\), \(\mathbf u=\overrightarrow{MA}\), \(\mathbf v=\overrightarrow{MB}\). Тогда \(\overrightarrow{MC}=-\mathbf u\), \(\overrightarrow{MD}=-\mathbf v\). По теореме о диагоналях прямоугольника \(|\mathbf u|=|\mathbf v|\).

По теореме Пифагора в координатной (векторной) записи:

\[OA^2+OC^2=|\mathbf x+\mathbf u|^2+|\mathbf x-\mathbf u|^2=2|\mathbf x|^2+2|\mathbf u|^2,\]

\[OB^2+OD^2=|\mathbf x+\mathbf v|^2+|\mathbf x-\mathbf v|^2=2|\mathbf x|^2+2|\mathbf v|^2.\]

Так как \(|\mathbf u|=|\mathbf v|\), правые части равны. Следовательно, \(OA^2+OC^2=OB^2+OD^2\), что и требовалось доказать.