Вариант 2. 3. Докажите, что углы треугольника ABC связаны соотношением \(\cos^2 A+\cos^2 B-\cos^2 C=1-2\sin A\sin B\cos C\).

Так как \(A+B=\pi-C\), то \(\cos C=-\cos(A+B)=\sin A\sin B-\cos A\cos B\). Кроме того, \(\cos^2 C=\sin^2(A+B)\). Раскроем квадрат суммы:

\[\cos^2 C=\sin^2 A\cos^2 B+\cos^2 A\sin^2 B+2\sin A\sin B\cos A\cos B.\]

Тогда, используя \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\), получаем

\[\begin{aligned}\cos^2 A+\cos^2 B-\cos^2 C&=1-2\sin^2 A\sin^2 B-2\sin A\sin B\cos A\cos B\\&=1-2\sin A\sin B(\sin A\sin B+\cos A\cos B).\end{aligned}\]

Из равенства \(\cos C=\sin A\sin B-\cos A\cos B\) следует, что \(\sin A\sin B+\cos A\cos B=\sin A\sin B-\cos C\). Подстановка в полученное выражение даёт требуемый результат.