Вариант 1. 2. Дан выпуклый четырехугольник. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны a и b и пересекаются под углом 60°. Найдите диагонали четырехугольника.

Обозначим векторы диагоналей через \(\mathbf x\) и \(\mathbf y\), направив их от одной пары противоположных вершин. Векторы двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равны \((\mathbf x+\mathbf y)/2\) и \((\mathbf x-\mathbf y)/2\). Их длины равны a и b.

Сумма этих векторов равна \(\mathbf x\), а разность — \(\mathbf y\). Угол между отрезками равен 60°, поэтому

\[|\mathbf x|^2=a^2+b^2+2ab\cos60^\circ=a^2+b^2+ab,\]

\[|\mathbf y|^2=a^2+b^2-2ab\cos60^\circ=a^2+b^2-ab.\]

Знаки при слагаемом ab меняются местами, если иначе сопоставить диагонали отрезкам. Следовательно, длины диагоналей — указанные два значения.

Ответ: \(\sqrt{a^2+b^2+ab}\) и \(\sqrt{a^2+b^2-ab}\).