Вариант 1. 3. Докажите, что углы треугольника ABC связаны соотношением \(\sin^2 A+\sin^2 B-\sin^2 C=2\sin A\sin B\cos C\).

Так как в треугольнике \(A+B=\pi-C\), имеем \(\sin(A+B)=\sin C\). Возведём равенство в квадрат:

\[\sin^2 C=\sin^2 A\cos^2 B+\cos^2 A\sin^2 B+2\sin A\sin B\cos A\cos B.\]

Вычитая это выражение из \(\sin^2 A+\sin^2 B\) и используя \(1-\cos^2 x=\sin^2 x\), получаем

\[\begin{aligned}\sin^2 A+\sin^2 B-\sin^2 C&=2\sin^2 A\sin^2 B-2\sin A\sin B\cos A\cos B\\&=2\sin A\sin B(\sin A\sin B-\cos A\cos B).\end{aligned}\]

Поскольку \(\cos C=-\cos(A+B)=\sin A\sin B-\cos A\cos B\), последнее выражение равно \(2\sin A\sin B\cos C\). Что и требовалось доказать.