Вариант 1. 4. Дан прямоугольник ABCD. Докажите, что для любой точки O выполняется равенство \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}\).

Пусть M — центр прямоугольника, а \(\mathbf u=\overrightarrow{MA}\), \(\mathbf v=\overrightarrow{MB}\), \(\mathbf x=\overrightarrow{OM}\). Тогда \(\overrightarrow{MC}=-\mathbf u\), \(\overrightarrow{MD}=-\mathbf v\), причём \(\mathbf u\cdot\mathbf v=0\), поскольку соседние стороны прямоугольника перпендикулярны.

Следовательно, \(\overrightarrow{OA}=\mathbf x+\mathbf u\), \(\overrightarrow{OC}=\mathbf x-\mathbf u\), \(\overrightarrow{OB}=\mathbf x+\mathbf v\), \(\overrightarrow{OD}=\mathbf x-\mathbf v\). Поэтому

\[\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=|\mathbf x|^2-|\mathbf u|^2,\qquad \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}=|\mathbf x|^2-|\mathbf v|^2.\]

У прямоугольника диагонали равны, поэтому \(|\mathbf u|=|\mathbf v|\). Значит, скалярные произведения равны, что и требовалось доказать.