Вариант 1. 1. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника AOB, если ∠BCD = 75°. 2. В параллелограмме ABCD из вершины A проведён луч, делящий угол A пополам. Этот луч пересекает противоположную сторону BC в точке T. Докажите, что △ABT имеет две равные стороны. 3. Биссектриса тупого (или острого) угла параллелограмма отсекает на противоположной стороне отрезок длиной 10 см. Найдите длину большей стороны параллелограмма, если его периметр равен 52 см.

В ромбе противоположные углы равны, поэтому ∠DAB = ∠BCD = 75°. Диагональ AC делит угол A пополам, значит ∠OAB = 37,5°. Соседний угол B равен 180° − 75° = 105°; диагональ BD делит его пополам, поэтому ∠ABO = 52,5°. Диагонали ромба перпендикулярны, следовательно, ∠AOB = 90°.

Ответ: ∠OAB = 37,5°, ∠ABO = 52,5°, ∠AOB = 90°.

Поскольку AT — биссектриса, ∠BAT = ∠TAD. Из AD ∥ BC и T ∈ BC следует ∠TAD = ∠ATB. Значит, ∠BAT = ∠ATB, а против равных углов лежат равные стороны: AB = BT. Следовательно, △ABT равнобедренный.

По свойству биссектрисы угла параллелограмма отрезок, отсекаемый ею на противоположной стороне и прилегающий к ближайшей вершине, равен меньшей стороне параллелограмма. Поэтому меньшая сторона равна 10 см. Из периметра: 2(a + b) = 52, значит a + b = 26. Большая сторона равна 26 − 10 = 16 см.

Ответ: 16 см.