Вариант 7. 1. Диагонали ромба PQRS пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника POQ, если ∠QRS = 50°. 2. В параллелограмме EFGH луч, делящий угол E пополам, пересекает сторону FG в точке M. Докажите, что △EFM имеет две равные стороны. 3. В параллелограмме биссектриса угла отсекает на противоположной стороне отрезок длиной 11 см, считая от вершины этого угла. Найдите длину большей стороны, если периметр фигуры равен 56 см.

∠P = ∠R = 50°, а ∠Q = 180° − 50° = 130°. Диагональ PR делит угол P пополам, поэтому ∠OPQ = 25°. Диагональ QS делит угол Q пополам, поэтому ∠PQO = 65°. Диагонали ромба перпендикулярны, значит ∠POQ = 90°.

Ответ: 25°, 65° и 90°.

EM — биссектриса, поэтому ∠FEM = ∠MEH. Так как EH ∥ FG и M лежит на FG, ∠MEH = ∠EMF. Следовательно, ∠FEM = ∠EMF, откуда EF = FM. Значит, △EFM равнобедренный.

Отрезок, отсекаемый биссектрисой на противоположной стороне от ближайшей вершины, равен меньшей стороне параллелограмма. Значит, меньшая сторона равна 11 см. Полусумма сторон равна 56 : 2 = 28 см, поэтому большая сторона равна 28 − 11 = 17 см.

Ответ: 17 см.