Вариант 3. 1. Диагонали ромба EFGH пересекаются в точке S. Вычислите все углы треугольника EFS, если величина угла FGH равна 64°. 2. В параллелограмме ABCD внутренняя биссектриса угла B пересекает отрезок AD в точке K. Обоснуйте равенство сторон AB и AK. 3. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от его противоположной стороны отрезок длиной 12 см. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 64 см.

В ромбе противоположный углу G угол E равен 64°, а углы F и H равны 180° − 64° = 116°. Диагональ EG делит угол E пополам, поэтому ∠FES = 32°. Диагональ FH делит угол F пополам, поэтому ∠EFS = 58°. Диагонали ромба перпендикулярны, значит ∠ESF = 90°.

Ответ: ∠FES = 32°, ∠EFS = 58°, ∠ESF = 90°.

BK делит угол B пополам, следовательно, ∠ABK = ∠KBC. Поскольку AD ∥ BC, а A, K, D лежат на одной прямой, ∠AKB = ∠KBC: это углы между попарно параллельными прямыми BA/KB и AD/BC с учётом противоположно направленных лучей. Значит, ∠ABK = ∠AKB, и против равных углов лежат равные стороны: AK = AB.

Отрезок, отсекаемый биссектрисой на противоположной стороне и прилежащий к ближайшей вершине, равен меньшей стороне параллелограмма. Поэтому меньшая сторона равна 12 см. Полусумма сторон: 64 : 2 = 32 см; другая сторона равна 32 − 12 = 20 см.

Ответ: 12 см и 20 см.