Вариант 5. 1. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника AOB, если ∠BCD = 80°. 2. В параллелограмме MNPK из вершины M проведён луч, делящий угол M пополам. Этот луч пересекает сторону NP в точке L. Докажите, что треугольник MNL равнобедренный. 3. Биссектриса угла параллелограмма отсекает на противоположной стороне отрезок длиной 6 см, считая от общей вершины. Найдите длину большей стороны параллелограмма, если его периметр равен 32 см.

∠A = ∠BCD = 80°, и диагональ AC делит его пополам: ∠OAB = 40°. Соседний угол B равен 100°, а диагональ BD делит его пополам: ∠ABO = 50°. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому ∠AOB = 90°.

Ответ: 40°, 50° и 90°.

ML — биссектриса, поэтому ∠NML = ∠LMP. Так как NP ∥ MK, ∠LMP = ∠MLN. Следовательно, ∠NML = ∠MLN, откуда MN = NL. Значит, △MNL равнобедренный.

По свойству биссектрисы параллелограмма отсекаемый на противоположной стороне отрезок равен меньшей стороне, значит меньшая сторона равна 6 см. Полусумма сторон равна 32 : 2 = 16 см; большая сторона равна 16 − 6 = 10 см.

Ответ: 10 см.