Вариант 8. 1. Точка O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD. Найдите градусные меры углов треугольника AOB, если ∠BCD = 130°. 2. В параллелограмме MNPK проведена биссектриса угла K, пересекающая сторону MN в точке T. Докажите, что отрезок KT отсекает равнобедренный треугольник MKT. 3. Периметр параллелограмма равен 44 см. Биссектриса одного из углов отсекает на противоположной стороне отрезок длиной 8 см от общей вершины. Найдите длину большей стороны параллелограмма.

Угол A противоположен углу C, поэтому ∠A = 130°. Диагональ AC делит его пополам: ∠OAB = 65°. Соседний угол B равен 180° − 130° = 50°, а диагональ BD делит его пополам: ∠ABO = 25°. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому ∠AOB = 90°.

Ответ: 65°, 25° и 90°.

KT — биссектриса угла K, поэтому ∠MKT = ∠TKP. Поскольку MN ∥ KP и T лежит на MN, ∠MTK = ∠TKP: это углы, образованные прямыми KT и параллельными MN, KP. Следовательно, ∠MKT = ∠MTK, а против равных углов лежат равные стороны: MT = MK. Значит, △MKT равнобедренный.

По свойству биссектрисы параллелограмма отрезок, отсекаемый на противоположной стороне от ближайшей вершины, равен меньшей стороне. Поэтому меньшая сторона равна 8 см. Полусумма сторон равна 44 : 2 = 22 см; большая сторона равна 22 − 8 = 14 см.

Ответ: 14 см.