Вариант 6. 1. В ромбе KLMN диагонали пересекаются в точке O. Определите углы треугольника KOL, если ∠LMN = 120°. 2. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла D, которая пересекает сторону BC в точке P. Обоснуйте равенство отрезков CD и CP. 3. Биссектриса угла параллелограмма отсекает на противоположной стороне отрезок длиной 9 см, считая от вершины этого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр составляет 48 см.

∠LMN = 120°, поэтому противоположный угол K равен 120°, а угол L равен 60°. Диагональ KM делит угол K пополам, поэтому ∠OKL = 60°. Диагональ LN делит угол L пополам, поэтому ∠KLO = 30°. Диагонали ромба перпендикулярны, значит ∠KOL = 90°.

Ответ: 60°, 30° и 90°.

DP — биссектриса угла D, поэтому ∠CDP = ∠PDA. Поскольку BC ∥ AD и P лежит на BC, ∠PDA = ∠DPC. Значит, ∠CDP = ∠DPC, и против равных углов лежат равные стороны: CP = CD.

По свойству биссектрисы отрезок на противоположной стороне, отсекаемый от ближайшей вершины, равен меньшей стороне параллелограмма. Она равна 9 см. Полусумма сторон равна 48 : 2 = 24 см, поэтому большая сторона равна 24 − 9 = 15 см.

Ответ: 15 см.