Вариант 2. 1. Точка M₀ — точка пересечения диагоналей ромба KLMN. Определите градусные меры углов треугольника KLM₀, если ∠LMN = 110°. 2. В параллелограмме PQRS проведена биссектриса угла P, пересекающая сторону QR в точке X. Докажите, что треугольник PQX является равнобедренным. 3. В параллелограмме биссектриса одного из углов делит противоположную сторону; отрезок, равный 7 см, является прилежащим к вершине этого угла. Вычислите длину большей стороны параллелограмма, если его периметр равен 38 см.

∠LMN = 110°, поэтому противоположный угол K также равен 110°, а углы L и N равны 70°. Диагональ KM₀ делит угол K пополам, поэтому ∠LKM₀ = 55°. Диагональ LN делит угол L пополам, поэтому ∠KLM₀ = 35°. Диагонали ромба перпендикулярны, значит ∠KM₀L = 90°.

Ответ: 55°, 35° и 90°.

PX — биссектриса, поэтому ∠QPX = ∠XPS. Так как PS ∥ QR, а X лежит на QR, ∠XPS = ∠PXQ. Следовательно, ∠QPX = ∠PXQ, откуда PQ = QX. Значит, △PQX равнобедренный.

Свойство биссектрисы параллелограмма даёт, что указанный отрезок противоположной стороны равен меньшей стороне: она равна 7 см. Полусумма сторон равна 38 : 2 = 19 см, поэтому большая сторона равна 19 − 7 = 12 см.

Ответ: 12 см.