Вариант 1. 10. В треугольнике ABC AB = BC, BF ⟂ AC, AD ⟂ BC, где F лежит на AC, а D — на BC. Если FC:DC = 3:2 и площадь ABC равна 9, найдите площадь FDC.

Поскольку \(AB=BC\), высота BF к основанию AC является также медианой. Значит, \(F\) — середина AC, и \(AF=FC\).

Пусть \(FC=3t\), тогда \(AC=6t\), а из отношения \(FC:DC=3:2\) получаем \(DC=2t\). В прямоугольном треугольнике ADC: \(AD^2=AC^2-DC^2=32t^2\).

Пусть \(BC=x\). Тогда \(BD=x-2t\). Из прямоугольного треугольника ADB и условия \(AB=BC=x\): \(x^2=32t^2+(x-2t)^2\), откуда \(x=9t\). Следовательно, \(DC/BC=2/9\).

Так как F — середина AC, \(S_{BFC}=S_{ABC}/2=9/2\). Треугольники FDC и FBC имеют общую высоту к прямой BC, поэтому \(S_{FDC}/S_{FBC}=DC/BC=2/9\). Значит, \(S_{FDC}=\frac{9}{2}\cdot\frac{2}{9}=1\).

Ответ: \(S_{FDC}=1\).