Вариант 1, № 3. В треугольнике ABC AB = BC, ∠CAB = 30°, AE — биссектриса, BE = 8 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Пусть \(AB=BC=x\). Равенство сторон означает равенство противолежащих углов: \(\angle C=\angle A=30^\circ\), поэтому \(\angle B=120^\circ\).

По теореме синусов \(AC=x\frac{\sin120^\circ}{\sin30^\circ}=x\sqrt3\).

По теореме о биссектрисе \(\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac1{\sqrt3}\). Поскольку \(BE=8\), получаем \(EC=8\sqrt3\), а значит \(BC=8+8\sqrt3=x\).

Площадь: \(S=\frac12 AB\cdot BC\sin120^\circ=\frac{x^2\sqrt3}{4}=192\sqrt3+96\sqrt{\vphantom{3}}\)?

Уточним вычисление без округления: \(x=8(1+\sqrt3)\), поэтому \(S=\frac{\sqrt3}{4}[8(1+\sqrt3)]^2=48\sqrt3(1+\sqrt3)^2=288+192\sqrt3\) см².

Ответ: \(288+192\sqrt3\) см².