Вариант 2, № 3. В ромбе ABCD AK — биссектриса угла CAB, ∠BAD = 60°, BK = 12 см. Найдите площадь ромба.

Принимаем стандартное для такого обозначения расположение: K лежит на стороне BC. В ромбе диагональ AC биссектрисса угла A, поэтому \(\angle CAB=30^\circ\); тогда \(\angle BAK=15^\circ\). Также \(\angle ABK=120^\circ\), следовательно \(\angle AKB=45^\circ\).

В треугольнике ABK по теореме синусов сторона ромба \(AB=\frac{BK\sin45^\circ}{\sin15^\circ}=12(\sqrt3+1)\).

Площадь ромба равна \(AB^2\sin60^\circ=288(4+2\sqrt3)\cdot\frac{\sqrt3}{2}=288\sqrt3+864\) см².

Ответ: \(864+288\sqrt3\) см².