Вариант 1. 4. На рисунке 12 ABCD — параллелограмм, ∠ABC = 130°, AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ ∥ DD₁ и AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁. 1) Постройте линии пересечения плоскости AMD с плоскостями AA₁B₁, BB₁C₁ и DD₁C₁. 2) Найдите угол между прямыми AB и A₁D₁.

1) Точка M лежит на BB₁, следовательно, M принадлежит плоскости AA₁B₁ и плоскости BB₁C₁. Точки A и M задают плоскость AMD.

В плоскости AA₁B₁ находятся A и M, поэтому линия пересечения — AM.

В плоскости BB₁C₁ лежит прямая BB₁, а точка M принадлежит BB₁. Пересечение плоскостей AMD и BB₁C₁ проходит через M и параллельно AD: в плоскости AMD через M проводится прямая, параллельная AD; она лежит также в BB₁C₁, поскольку AD ∥ BC.

Плоскость DD₁C₁ содержит D и параллельна плоскости основания ABCD. Плоскость AMD пересекает основание по AD, поэтому её пересечение с DD₁C₁ — прямая через D, параллельная AD (то есть прямая DD₁? Нет: AD не параллельна DD₁; это линия через D, параллельная AD, лежащая в верхней задней боковой грани).

2) В параллелепипеде A₁D₁ ∥ AD, а в параллелограмме ABCD — AD ∥ BC. Следовательно, угол между AB и A₁D₁ равен углу между AB и AD. Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°: ∠DAB = 180° − 130° = 50°.

Ответ: угол между AB и A₁D₁ равен 50°.