Вариант 1. 4. Построить график функции \(f(x)=-2x^2+4x+6\). Найти с помощью графика: 1) область определения и область значений; 2) нули функции; 3) ось симметрии; 4) где \(f(x)>0\) и где \(f(x)<0\); 5) промежутки возрастания и убывания функции.

Приведём функцию к вершиной форме: \(f(x)=-2(x^2-2x)+6=-2(x-1)^2+8\). Это парабола с ветвями вниз и вершиной \((1;8)\).

Нули найдём разложением: \(-2x^2+4x+6=-2(x-3)(x+1)\), значит, \(x=-1\) и \(x=3\). Ось симметрии проходит через вершину: \(x=1\).

Для построения достаточно отметить вершину \((1;8)\), нули \((-1;0)\), \((3;0)\) и симметричные точки, например \((0;6)\), \((2;6)\), и провести параболу с ветвями вниз.

1. Область определения: \(\mathbb R\). Область значений: \((-;8]\).
2. Нули: \(-1\) и \(3\).
3. Ось симметрии: \(x=1\).
4. Так как ветви направлены вниз, функция положительна между нулями: \((-1;3)\); отрицательна на \((-;-1)\cup(3;+)\).
5. Функция возрастает на \((-;1]\) и убывает на \([1;+)\).

Ответ: область определения \(\mathbb R\), область значений \((-;8]\); нули −1 и 3; ось \(x=1\); \(f(x)>0\) при \(-1<x<3\), \(f(x)<0\) при \(x<-1\) или \(x>3\); возрастает до \(x=1\), затем убывает.