Вариант 2. 5. Построить график функции \(y=\frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne1\). Для таких \(x\), \(\frac{x-1}{1-x}=-1\), поэтому график задаётся уравнением \(y=-(x^2+4)=-x^2-4\) с выколотой точкой \((1;-5)\).

Пересечения с \(y=kx\) определяются уравнением \(-x^2-4=kx\), или \(x^2+kx+4=0\), с исключением \(x=1\). При \(|k|<4\) корней нет. При \(|k|>4\) два различных корня, однако при \(k=-5\) один из корней равен 1 и исключён, оставляя одну точку. При \(k=4\) корень двойной \(x=-2\), допустимый; при \(k=-4\) двойной корень \(x=2\), также допустимый. В обоих случаях ровно одна точка.

Ответ: \(k=-5\), \(k=4\) или \(k=-4\).