Вариант 1. 5. Построить график функции \(y=\frac{(x^2+4)(x+2)}{-2-x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne-2\). При этих значениях \(-2-x=-(x+2)\), поэтому \(y=-(x^2+4)=-x^2-4\). График — парабола \(y=-x^2-4\) с выколотой точкой \((-2;-8)\).

Точки пересечения с прямой \(y=kx\) удовлетворяют уравнению \(-x^2-4=kx\), то есть \(x^2+kx+4=0\), причём \(x=-2\) не входит в область определения. Дискриминант равен \(k^2-16\).

При \(|k|<4\) действительных решений нет. При \(|k|>4\) есть два различных корня, но если \(k=5\), один из них равен \(-2\) и исключается, оставляя ровно одну точку. При \(k=4\) корень двойной \(x=-2\), он исключён, поэтому общих точек нет. При \(k=-4\) корень двойной \(x=2\), и общая точка одна.

Ответ: \(k=-4\) или \(k=5\).