Вариант 1. 5. Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между прямыми \(AD_1\) и \(BM\), где \(M\) — середина ребра \(DD_1\).

Пусть ребро куба равно \(a\). Введём координаты: \(A(0;0;0)\), \(B(a;0;0)\), \(D(0;a;0)\), \(D_1(0;a;a)\). Тогда \(M(0;a;\frac a2)\).

Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AD_1}=(0;a;a)\), \(\overrightarrow{BM}=(-a;a;\frac a2)\).

\(\overrightarrow{AD_1}\cdot\overrightarrow{BM}=\frac{3a^2}{2}\), \(\left|\overrightarrow{AD_1}\right|=a\sqrt2\), \(\left|\overrightarrow{BM}\right|=\frac{3a}{2}\). Поэтому косинус угла между прямыми равен \(\frac{\frac{3a^2}{2}}{a\sqrt2\cdot\frac{3a}{2}}=\frac{1}{\sqrt2}\).

Ответ: \(45^\circ\).