Вариант 2. 5. Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между прямыми \(AC\) и \(DC_1\).

Пусть ребро куба равно \(a\). Возьмём координаты \(A(0;0;0)\), \(C(a;a;0)\), \(D(0;a;0)\), \(C_1(a;a;a)\). Тогда направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AC}=(a;a;0)\), \(\overrightarrow{DC_1}=(a;0;a)\).

Их скалярное произведение равно \(a^2\), а длина каждого вектора — \(a\sqrt2\). Следовательно, \(\cos\varphi=\frac{a^2}{a\sqrt2\cdot a\sqrt2}=\frac12\).

Ответ: \(60^\circ\).