Вариант 1. 5. При каком значении \(p\) прямая \(y=-2x+p\) имеет с параболой \(y=x^2+2x\) ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки.

В общей точке значения функций равны: \(x^2+2x=-2x+p\), поэтому \(x^2+4x-p=0\). Чтобы прямая имела с параболой ровно одну общую точку, квадратное уравнение должно иметь единственный корень: \(D=4^2-4\cdot1\cdot(-p)=16+4p=0\). Отсюда \(p=-4\).

При этом уравнение принимает вид \(x^2+4x+4=0\), то есть \((x+2)^2=0\). Поэтому \(x=-2\), а \(y=-2(-2)-4=0\).

Ответ: \(p=-4\); общая точка — \((-2;0)\).