Вариант 1, Задача 4*: Найдите координаты точки N, лежащей на оси абсцисс и равноудаленной от точек P(-1; 3) и K(0; 2).

Решение: 1. Так как точка N лежит на оси абсцисс, её координата y равна 0. Обозначим координату x точки N как n, то есть N(n; 0). 2. Так как точка N равноудалена от точек P и K, расстояния NP и NK должны быть равны. 3. Запишем формулу расстояния между точками N и P: \(NP = \sqrt{(-1 - n)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-1 - n)^2 + 9}\) 4. Запишем формулу расстояния между точками N и K: \(NK = \sqrt{(0 - n)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-n)^2 + 4} = \sqrt{n^2 + 4}\) 5. Приравняем NP и NK: \(\sqrt{(-1 - n)^2 + 9} = \sqrt{n^2 + 4}\) 6. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней: \((-1 - n)^2 + 9 = n^2 + 4\) \(1 + 2n + n^2 + 9 = n^2 + 4\) \(n^2 + 2n + 10 = n^2 + 4\) 7. Упростим уравнение: \(2n = 4 - 10\) \(2n = -6\) \(n = -3\) 8. Итак, координата x точки N равна -3, а координата y равна 0. Ответ: Координаты точки N(-3; 0).